Работает маятник максвелла. Определение момента инерции маятника Максвелла

Лабораторная работа № 1*

Маятник Максвелла

Цель работы : Определить момент инерции маятника Максвелл дина­мическим способен и сравнить его с теоретическим значением.

Приборы и материалы: маятник Максвелла, электронный секундомер, сменные кольца.

Лабораторный прибор

Маятник Максвелла представляет собой небольшой диск (маховичок) насажанный туго на ось. Под действием силы тяжести он опускается на двух нитях, предварительно намотанных на ось маховичка (рис. 1). Нить во время движения диска вниз разматывается до полной дли­ны, раскрутившийся маховичок продолжает вращательное дви­жение в том же направлении и наматывает нити на ось, вследствие чего он поднима­ется вверх, замедляя при этом свое вращение. Дойдя до верхней точки, диск опять будет опускаться вниз и т.д. Маховичок будет колебаться вниз и вверх, поэтому такое устройство и называется маят­ником.

Лабораторная установка

В лабораторной установке маятник Максвелла укреплен на кронштейнах, позволяющих регулировать длину подвески и ее параллельность. К верхнему и нижнему кронштейнам прикреплены фотоэлектрические датчики, связанные функционально с электронным секундомером, измеряющим время движения маятника. На маховичск накладываются сменные кольца, изменяв­шие момент инерции маятника. На верхнем кронштейне находится

электромагнит, фиксирующий начальное положение маховичка с кольцом при отжатой клавише "ПУСК".

Теоретическое описание работы и вывод рабочей формулы

Маятник в процессе колебаний совершает поступательное и вращательное движения, которые описываются соответствующими уравнениями. Для составления уравнений движения рассмотрим силы и моменты сил, действующих на маховичок (рис. I). Пусть
- сила тяжести,- сила натяжения одной нити.
- радиус оси маятника.
10 мм - диаметр оси маятника,
- масса маятника.- момент инерции маховичка. Тогда уравнение поступательного движения, согласно второму закону Ньютона, запишется так:

. (1)

В уравнении (1) стоит удвоенное значение силы , так как на ось маховичка намотаны две нити, в каждой из которых возникает сила натяже­ния .

Под действием сил натяжения диск совершает вращательное движение. Момент этих сил равен:

. (2)

Плечом силы является радиусоси маятника, диаметром нити пренебрегаем.

Тогда уравнение вращательного движения маховичка можно записать так:

, (3)

где - угловое ускорение вращения диска.

Угловое ускорение и ускорение центра масс связаны соот­ношением:

. (4)

Ускорение , центра масс можно найти, зная длину пути и время дви­жения маховичка от верхней до нижней точки (с учетом нулевой начальной скорости):

. (5)

. (6)

Подставив (6) в (4), получим:

. (7)

С учетом (6) и (7) уравнения (1) и (3) примут вид:

. (8)

. (9)

Решая совместно уравнения (8) и (9), получим рабочую формулу для опреде­ления момента инерции маятника Максвелла экспериментальным путем:

. (10)

В формуле (10) масса
является общей массой маятника, включающей в себя массу оси маятника, диска и кольца.-?-?

-?
-?
-?

Порядок выполнения работы

1. Включить установку в сеть.

2. На маховичок наложить произвольно выбранное кольцо, прижимая его до упора.

3. На ось маятника намотать нить подвески, обращая внимание на то. чтобы она наматывалась равномерно, виток к витку.

4. Зафиксировать маятник в верхнем кронштейне отжатием клавиши "ПУСК" секундомера.

5. Нажать клавишу "СБРОС" секундомера.

6. Нажать клавишу "ПУСК", при этом электронный секундомер начнет отсчет времени движения маятника до нижнего кронштейна. Измерения повторить 5 раз и занести в соответствующую колонку табли­цы.

7. По шкале на вертикальной колонке определить длину маятника.

8. Измерения времени (пункт 6) повторить для разных насадных колец и занести в таблицу.

9. Определить общую массу маятника. Значения масс отдельных элементов указаны на них.

10.По формуле (10) вычислить момент инерции - маятника для всех

серий измерений.

11.Вычислить относительную и абсолютную погрешности определения момента

инерции по полученным самостоятельно формулам. Формула дифференциала имеет вид

12.Вычислить теоретические значения моментов инерции маятника но формулам (11) и сравнить с вычисленным по формулам (10):

, (11)

где
- момент инерции оси маятника.

- масса оси маятника, = 10 мм - диаметр оси

- момент инерции диска.

- масса диска,
86 мм - внешний диаметр диска

- момент инерции насадного кольца.

- масса кольца,
105 мм - внешний диаметр кольца.

13.Окончательные результаты определения моментов инерции маятника представить в следующем виде:

,
.

14.По полученным результатам сделать выводы.

Таблица результатов

№,

с

, с

, с

, кг

, кг

, кг

, кг

, кг

, м

, м

, м

, м

Ср. знач.

, с

, кг

, м

, м

Контрольные вопросы

1. Дайте определение момента инерции материальной точки и твердого тела.

2. Как записывается основное уравнение динамики вращательного движения?

3. Какой физический прибор называется маятником Максвелла? Назовите основные его элементы и объясните принцип его работы.

4. Выведите рабочую формулу для определения момента инерции маятника Максвелла.

5. Объясните формулу (11) для теоретических значений моментов инерции маятника.

6. Выведите формулу для относительной и абсолютной погрешностей определения моментов инерции.

Для враща тельного движения маятника запишем основной закон динамики вращательного движения для абсолютно твердого тела: J M , где J- момент инерции маятника относительно его оси Лабораторная работа №14 МАЯТНИК МАКСВЕЛЛА Цель работы - изучение законов динамики поступательного и вращательного движения на примере маятника Максвелла. Приборы и принадлежности: маятник Максвелла FPM-03; комплект сменных колец: ко льцо 0301ЧЮ60-01 массой 0,25 кг, ко льцо 0301-0080-02 массой 0,35 кг, кольцо 0301-0080-03 массой 0,46 кг. вращения, - угловое ускорение маятника, М - результирующий момент внешних сил о тносительно оси вращения. Поскольку момент силы тяжести относительно оси вращения равен нулю, (2) J 2T r , где r - радиус оси. Так как a r и из (1) 2Т = m(g - a), можем написать: m(g a)r 2 , a а после преобразований J Краткие сведения из теории Действие прибора основано на одном из основных законов механики - законе со хранения механической анергии: полная механическая анергия системы, на ко торую действуют только консервативные силы, постоянна. Маятник Максвелла представляет собой твердое тело, насаженное на ось. Ось по двешена на дву х накручивающихся на нее нитях (рис. 1). Под действием силы тяжести маятник совершает колебания в вертикальном направлении и вместе с тем крутильные колебания во круг своей оси. Пренебрегая силами трения, систему можно считать консервативной. Закрутив нити, мы поднимаем маятник на высоту h, сообщив ему запас потенциальной анергии. При освобождении маятника он начинает движение под действием силы тяжести: поступательное вниз и вращательное вокруг своей оси. При этом потенциальная энер гия перехо дит в кинетическую. Опустившись в крайнее нижнее положе ние, маятник будет по инерции вращаться в том же направлении, нити намотаются на ось и маятник поднимется. Так происходят колебания маятника. Напишем уравнения движе ния маятника. При поступательном движении маятника по второму закону Ньютона с учетом действующих ни маятник сил можно написать    ma mg 2T , где m - масса маятника, g -ускорение силы тяжести, a - ускорение поступательного движения центра масс маятника, Т- сила натяжения о дной нити, Рис. 1. , Проектируя э то уравнение, по лучим ma = mg - 2T . (1) J m(g 1)r 2 . a Ускорение а может быть получено по измеренному времени движения и прохо димому маятником расстоянию h из уравнения равноускоренного движения без начальной скорости: a 2h . t2 J m(Тогда gt 2 2h 1)r 2 и, если по дставить диаметр оси D, по лучим основную расчетную формулу J mD2 gt 2 (1) . 4 2h Описание экспериментальной установки (3) Общий вид прибора показан на рис. 2. Основание 1 снабжено регулируемыми ножками 2, позволяющими произвести выравнивание при бора. В основании закреплена ко лонка 3, к ко торой прикреплен неподвижный вер хний кронштейн 4 и подвижный нижний кронштейн 5. На вер хнем кронштейне находится э лектромагнит 6, фотоэлектрический датчик №17 и вороток 8 для закрепления и регу лирования длины бифилярной подвески маятника. Рис. 2 Нижний кронштейн вместе с прикрепленный в нему фотоэлектрическим датчиком № 29 можно перемещать вдоль ко лонки и фиксировать в произвольно избранной положении. Тело маятника 10 - его ролик, закрепленный на оси, на который накладываются сменные кольца, изменяющие момент инерции маятника. Маятник удерживается в вер хнем положении электромагнитом. Его длина определяется по миллиметровой шкале на колонке прибора с погрешностью не более дву х миллиметров. Для более точного намерения Длины на нижнем кронштейне имеется красный указатель, помещенный на высоте оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Для намерения времени падения с относительной погрешностью не более 0,О2% служит электронная схема, состоящая из миллисекундомера FPM-15, дву х фо тоэлектрических датчиков FK-1 и электромагнита. При про хождении маятника мимо фотоэлектрического датчика последний да ет в схему миллисекундомера электрический сигнал, фиксирующий момент прохождения маятника. Фо тоэлектрический датчик №1 соединен с гнездом ZLI миллисекундомера 12, а фотоэлектрический датчик № 2 - с гнездом ZL2. Лицевая и задняя панели миллисекундомера изображены на рис. 5.3. На лицевой панели миллисекундомера нахо дятся следующие манипуляционные элементы: W1 (сеть) - выключатель сети - нажатие клавиши включает на пряжение питания, при атом загораются цифровые индикаторы (цифра ноль) и лампочки фотоэлектрических датчиков; W2 (сброс) - установка ну ля - нажатия клавиши вызывает сброс схем миллисекундомера; W3 (пуск) - управление э лектромагнитом - нажатие клавиши означает освобождение электромагнита и генерирование в схеме миллисекундомера импульса разрешения на измерение. На задней панели миллисекундомера нахо дятся: ZL1 - семиконтактное гнездо для по дключения фотоэлектрическо го датчика №1 и электромагнита; ZL2 - пятиконтактное гнездо для по дключения фотоэлектрическо го датчика № 2; ZL3 - заземляющий зажим. I. Подготовка прибора к измерениям. 1. Привести прибор к горизонтальному положению при помощи регулируемых ножек основания. 2. Включить сетевой кабель в сеть. 3. Нажать клавишу W1(сеть). Проверить высвечивание нуль-индикаторов и сигнальных: лампочек фотоэлектрических датчиков. II. Последовательность измерений при помощи маятника Максвелла. 1. Зафиксировать нижний кронштейн в крайней нижней по ложении. 2. Наложить ко льцо на ролик, прижимая его до упора. 3. Намотать на ось нить по двески и фиксировать ее. 4. Проверить, совпадает ли нижняя грань кольца с нулем шкалы на колонке. Если нет, о твинтить вер хний кронштейн и о трегулировать его высоту. Привинтить вер хний кронштейн. 5. Нажать клавишу "пуск" миллисекундомера. 6. Деб локировать гайку воротка для регулирования длины по двес ки. Установить длину нити так, чтобы край стального кольца после опускания маятника нахо дился примерно на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Одновременно произвести корректировку установки маятника так, ч тобы его ось была параллельной основанию прибора. Блокировать вороток. 7. Отжать кла вишу "пуск" миллисекундомера. 8. Намотать на ось маятника нить подвески, обращая внимание на то, чтобы она наматывалась равномерно, один виток за другим. 9. Фиксировать маятник при помощи электромагнита, обращая вни мание на то, чтобы нить в э том положении не была слишком скручена. 10. Повернуть маятник в направлении его движения на угол о коло 5 . Рис. 3 Конкретные задачи 1. Определить момент инерции маятника (для трех разных сменных колец). 2. Сравнить полученный результат с теоретическим значением. Порядок выполнения работы 11. Нажать клавишу "Сброс". 12. Нажать клавишу "пуск". 13. Измерить время падения маятника в секундах по миллисекундомеру. 14. Произвести определение времени пять раз. 15. Определить длину маятника в метрах по шкале на вер тикальной колонке прибора. 16. Внести по лученные данные в табл. 1. Таб лиц а 1 t, c № опыта 3 № кольца 1 2 Контрольные вопросы t ср, с 4 h, м 5 1 2 3 Обработка и анализ результатов измерений 1. Определить для каждо го кольца значение среднего времени падения маятника. 2. Определить диаметр оси вместе о намотанной на ней нитью по формуле D Do 2Dн, где D н - диаметр нити, D н = 0,5 мм; D o - диаметр внешней оси маятники, D 0 = 10 мм. 3. Определить массу маятника вместе с наложенным кольцом, по формуле m mo m p mк, где m o масса оси, m p - масса ролика, m k - масса кольца. Значения масс отдельных элементов нанесена на э кспериментальной установке. 4. Определить момент инерции маятника по формуле (3). 5. Определить теоретическое значение момента инерции по формуле J т J o J к J p , где J o - момент инерции оси: 1 m o D o2 ; 8 J к - момент инерции кольца: 1 Jк m к (D к2 D 2p) , 8 здесь D к - внешний диаметр ко льца; D к =105 мм; D p - внешний диаметр Jo ролика, D p =86 мм; J p - момент инерции ролика: Jp 1 m p (D 2p 8 D o2) . 6. По дсчитать относительную погрешность определения момента инер ции по формуле J Jт Jт 100% . Относительная по грешность не должна превышать 8%. 1. Сформулировать закон со хранения механической энергии и ус ловия его выполнения. 2. Написать основной закон динамики вращательного движения. 3. Дать определение момента инерции твер дого тела. 4. Какова аналогия между основными характеристиками поступа тельно го и вращательного движения? 5. Описать устройство и действие маятника Максвелла. Библио гр.: /1/ §§1.5,3.3,4.1,8.5; /З/ §§24.38,39.

Маятник Максвелла представляет собой тело, способное совершать одновременно поступательное и вращательное движение (рис.1).

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая линия, соединяющая две любые точки тела, …
сохраняет свое неизменное направление в пространстве. При поступательном движении тела прямая, проведенная через две произвольно выбранные точки этого тела, перемещается параллельно самой себе. Основы кинематики поступательного движения изложены в краткой теории к работе М1.

Основным законом динамики поступательного движения является торой закон Ньютона:

.

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями с центром на одной прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может находиться вне тела или проходить через него. Основы кинематики и динамики вращательного движения в краткой теории к работам М1 и М3.

Рассмотрим более подробно закономерности поступательного и вращательного движения на приме маятника Максвелла, который представляет собой маховик, закрепленный на оси и подвешенный на двух нитях. Если нить намотать на ось маховика, то во время движения вниз она будет разматываться до полной длины. Раскрутившийся маховик продолжает вращательное движение в том же направлении и наматывает нить на ось, вследствие чего он поднимается вверх, замедляя при этом свое вращение. Дойдя до верхней точки, диск будет опять спускаться вниз и т.д. Маховик таким образом совершает колебания вверх и вниз и поэтому его называют маятником.

Движение всякой точки маятника мы можем представить как поступательное движение со скоростью , равной скорости центра инерции, и вращение вокруг оси с угловой скоростью w .

При движении на маятник действуют следующие силы и их моменты:

1) сила тяжести , приложенная к центру массы маятника и перпендикулярная оси вращения; момент силы тяжести равен нулю;

2) две силы натяжения нитей , приложенные к мгновенным точкам соприкосновения нитей и валика; момент силы натяжения:

3) две силы сопротивления совпадают по направлению с и имеют момент . Сила направлена против движения, характеризует трение нити о валик и другие диссипативные силы.

Запишем закон поступательного движения маятника, пренебрегая силами сопротивления:

где mg — сила тяжести маятника, F — сила натяжения нити.

Закон вращательного движения имеет вид:

где R — радиус валика, I — момент инерции маятника, e — угловое ускорение маятника.

Так как маятник Максвелла в процессе движения совершает равноускоренное движение с нулевой начальной скоростью, то изменение его скорости и координаты можно рассчитать по формулам:

Скорость центра инерции маятника (скорость оси маховика) и скорость вращения маятника связаны выражением

где R — радиус оси маятника, — касательная скорость этой оси.

Существует связь и между ускорениями двух видов движения:

Решая совместно уравнения (1-6), можно получить необходимые для работы расчетные формулы:

Отметим, что ускорение и сила натяжения совершенно не зависят от того, куда движется маятник — вверх или вниз. При колебаниях маятника скорость меняет свой знак, а ускорение не меняет, как не меняют знаков и силы.

Для определения моментов инерции используем формулу, выражающую закон сохранения механической энергии: потенциальная энергия маятника, находящегося в состоянии покоя на высоте h , равна кинетической энергии поступательного и вращательного движения маятника, находящегося в нижнем положении:

Учитывая формулу (5), находим:

С учетом (3-7) получим

где R — радиус оси маятника, t — время падения маятника.

Массу маятника надо определять по формуле

где m 1 — масса оси маятника; m 2 — масса диска; m 3 — масса кольца, одетого на диск. Все массы указаны на самих элементах.

Вычисление теоретического момента инерции маятника

Вычисление теоретического момента инерции маятника производится путем определения моментов инерции отдельных его элементов (валик, диск, кольцо).

Все три предмета можно представить в виде правильных фигур. Значит формулы для вычисления их моментов инерции можно найти в справочных материалах.

Валик можно представить как кольцо с тонкими стенками (обруч):

Формула для расчета момента инерции диска:

Формула для расчета момента инерции кольца (с толстыми стенками):

Вычисление энергии диссипации

Записывая формулу (10), мы считали маятник консервативной системой. Однако неизбежно существует сопротивление, что приводит к рассеянию энергии. Благодаря этому, маятник не сможет снова подняться на высоту h . Часть механической энергии переходит в тепловую, т.е. происходит диссипация механической энергии. При малых скоростях диссипативные силы можно считать линейными функциями скоростей. Используя закон сохранения энергии, находим:

где F c — сила сопротивления, h — высота, с которой опускается центр инерции маятника, h 1 — высота последующего подъема центра инерции маятника.

Таким образом

Числовое значение рассеивающейся энергии находим по формуле:

где h n — высота поднятия маятника после n колебаний маятника.

Описание установки

Вертикальная стойка имеет верхний и нижний кронштейны. На верхнем кронштейне имеется электромагнит, фотоэлектрический датчик и винт для закрепления и регулирования длины подвеса маятника. Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в выбранном положении.

Маятник – прибор, подвешенный по бирилярному способу, имеет сменные кольца, которые позволяют изменять массу маятника а, следовательно, и его момент инерции. Маятник с надетым на него кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Время движения маятника измеряется при помощи секундомера, пройденный путь — по шкале на стойке прибора, ориентируясь на нижний край кольца.

На передней панели прибора находится:

1) выключатель сети "СЕТЬ". Для включения питания;

2) кнопка "СБРОС". Для обнуления секундомера;

3) управление электромагнитом "ПУСК". Нажатие этой клавиши выключает электромагнит и включает секундомер.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Определение динамических характеристик движения центра инерции маятника:

1) вычертите в тетради таблицу 1, помещенную в конце данных методических указаний;

2) взяв самое легкое кольцо, наденьте его на диск маятника; суммируйте массы кольца, диска и валика, результат запишите в таблицу;

3) нажмите на клавишу "СЕТЬ";

4) намотайте на ось маятника нить так, чтобы витки располагались равномерно, при этом в своем верхнем положении маятник должен удерживаться электромагнитом;

5) нажмите на клавишу "СБРОС" (секундомер должен обнулиться);

6) при нажатии клавиши "ПУСК" маятник начнет движение вниз, а после достижения им нижнего фотоэлектрического датчика секундомер автоматически зафиксирует время опускания маятника с данной высоты;

7) измерение времени движения маятника выполнить 5 раз (показания секундомера записывайте в таблицу); высчитайте среднее значение и также внесите его в таблицу 1;

8) поменяйте кольцо на маятнике и повторите измерения согласно п.4-7;

9) повторите измерения и расчеты п. 4-7 для третьего кольца;

10) по шкале на вертикальной стойке определить путь, пройденный маятником и записать его в единицах системы СИ;

11) по формулам 7,8,9 и 11 рассчитайте ускорения поступательного и вращательного движения маятника, силу натяжения нитей и момент инерции маятника для всех трех колец. Результаты занесите в таблицу 1;

12) рассчитайте по формуле (12) теоретический момент инерции маятника для всех трех колец. Результаты запишите в таблицу и сравните со значениями I , рассчитанными ранее по формуле (11).

13) В заключении к работе сделать выводы о зависимости всех рассчитанных величин от массы маятника. Пояснить эти зависимости.

Таблица 1

, кг	, кг	t, с	t ср, с	a, м/с 2	e, 1/с 2	F, Н	I э, кг×м 2	I теор, кг×м 2

Определение энергии диссипации

1. Вычертите в тетради таблицу 2, помещенную в конце данных методических указаний.

2. Произведите равномерное наматывание нити и закрепите маятник в верхнем положении.

3. Нажмите "ПУСК", приведите маятник в движение и зафиксируйте высоту h , с которой опускается центр инерции маятника и высоту его последующего поднятия h 1 .

4. По формуле (12) вычислите силу сопротивления.

5. Произведите равномерное наматывание нити и закрепите маятник в верхнем положении.

6. Приведите маятник в движение, измерьте высоту в верхнем положении маятника после каждого из 10 колебаний.

7. Вычислите значение энергии диссипации по формуле (13).

8. Постройте график зависимости энергии диссипации от числа колебаний маятника.

9. В заключении к работе пояснить полученную зависимость W d = f(n).

Таблица 2

n, колебаний	h i , м	F c , Н	W d , Дж

Контрольные вопросы

1. Как устроен маятник Максвелл?

2. Записать и прокомментировать уравнения поступательного и вращательного движения маятника.

3. Вывести формулу для расчета ускорения центра инерции маятника, углового ускорения маятника, силы натяжения нити, момента инерции маятника.

4 Записать закон сохранения энергии для маятника Максвелла и дать пояснения.

5. Что называется моментом инерции материальной точки и моментом инерции твердого тела? Единицы измерения этой величины.

6. Вывести формулу для определения силы сопротивления, действующей на маятник Максвелла.

доцент

Лабораторная работа № 1-3

Маятник Максвелла

студент_______________________________________________________________________ группа:______________

Допуск ____________________________________Выполнение ________________________Защита ______________

Кинематика" href="/text/category/kinematika/" rel="bookmark">кинематики и динамики поступательного и вращательного

движения. Экспериментально определить угловое ускорение и момент инерции маятника.

Приборы и принадлежности: маятник Максвелла, набор металлических накладных колец, втулки.

Описание экспериментальной установки.

Данная установка называется маятником Максвелла . Она служит для определения момента инерции тела. Небольшой диск (маховичок), туго надетый на ось опускается под действием силы тяжести на двух нитях, предварительно намотанных на ось маховичка. Нити во время движения разматываются до полной длины. Раскрутившийся маховичок по инерции продолжает вращательное движение в том же направлении и наматывает нити на ось, вследствие чего он поднимается вверх, замедляя при этом вращение. Дойдя до верхней точки, диск опять опускается вниз и т. д. Маховичок будет совершать колебания вверх - вниз, поэтому данное устройство и называют маятником.

Общий вид маятника Максвелла приведён на рис. 1.

На основании 1 закреплена стойка 2, к которой прикреплены неподвижный верхний кронштейн 3 и подвижный кронштейн 4. На верхнем кронштейне находится электромагнит 5, фотоэлектрический датчик №1 6 и вороток с фиксатором 7 для закрепления и регулировки длины маятника.

Нижний кронштейн 4 с фотодатчиком № 2 8 можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в выбранном положении. Маятник 9 - это диск, закрепленный на оси и подвешенный на двух нитях к неподвижному кронштейну. На диск накладываются сменные металлические кольца 10, изменяющие момент инерции системы. Маятник с наложенным кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Длина маятника определяется по миллиметровой шкале стойки прибора. Сигналы с фотодатчиков служат для автоматического пуска и остановки миллисекундомера 11.

Основные теоретические сведения

Основы кинематики поступательного и вращательного движения тела.

Поступательным называется движение, при котором любая прямая, проведённая в теле, остаётся параллельной сама себе при движении тела.

Основными особенностями такого вида движения являются следующие обстоятельства:

- при поступательном движении все точки тела движутся совершенно одинаково, то есть имеют одну и ту же скорость, ускорение, траектории движения, совершают одинаковые перемещения и проходят одинаковый путь.

- в этом случае при описании движения тела его можно рассматривать как материальную точку.

Для описания поступательного движения тел вводят в рассмотрение следующие понятия:

Для характеристики быстроты перемещения тела в пространстве вводят понятие скорости :

https://pandia.ru/text/79/267/images/image004_28.gif" width="56" height="41">, метр в секунду.

Физический смысл скорости: она показывает, какое перемещение совершает тело за единицу времени при равномерном движении.

(пример: DIV_ADBLOCK104">

Вектор скорости направлен по касательной к траектории движения материальной точки.

Для характеристики быстроты изменения скорости по величине и направлению вводят понятие ускорения :

https://pandia.ru/text/79/267/images/image008_12.gif" width="59" height="41">, метр на секунду в квадрате.

Таким образом, ускорением называется векторная величина, равная первой производной по времени от мгновенной скорости тела.

Физический смысл ускорения: оно показывает, на сколько изменяется скорость тела за единицу времени при равнопеременном движении.

(например: означает, что скорость тела изменяется на font-size:10.0pt">Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора.

При прямолинейном движении тела ускорение сонаправлено с вектором font-size:10.0pt">.gif" width="13" height="19">некоторый угол .

Вращательным называется движение, при котором все точки тела описываю окружности, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения тела .

Основной особенностью такого вида движения является следующее обстоятельство:

при вращательном движении все точки абсолютно твёрдого тела движутся с одной и той же угловой скоростью и угловым ускорением и совершают одинаковые угловые перемещения.

Для описания вращательного движения тела вводят в рассмотрение следующие понятия:

Угол поворота - это угол, на который поворачивается радиус-вектор любой точки тела при его вращении.

font-size:10.0pt"> , радиан.

Элементарное угловое перемещение можно рассматривать как вектор DIV_ADBLOCK105">

если рукоятку буравчика вращать по направлению вращения тела, то поступательное движение буравчика будет совпадать с направлением вектора (см. рис. 3).

Удобство такого введения в следующем:

- модуль вектора однозначно определяет величину элементарного поворота тела ,

- направление вектора через правило буравчика определяет направление вращения тела,

- положение вектора в пространстве определяет

Ось вращения тела.

Для характеристики быстроты вращения тела в пространстве вводится понятие угловой скорости .

https://pandia.ru/text/79/267/images/image021_6.gif" width="72" height="41 src=">, радиан в секунду.

Угловая скорость есть первая производная по времени от угла поворота.

Физический смысл угловой скорости: она показывает, на какой угол поворачивается радиус-вектор любой точки тела за единицу времени при равномерном вращении.

(например: font-size:10.0pt">Направление угловой скорости совпадает с направлением вектора , то есть она также определяется по правилу буравчика.

Для характеристики быстроты изменения угловой скорости вводится понятие углового ускорения :

https://pandia.ru/text/79/267/images/image025_6.gif" width="68" height="41 src=">, радиан на секунду в квадрате.

Физический смысл углового ускорения: оно показывает, на сколько изменяется угловая скорость тела за единицу времени при равнопеременном вращении.

(например: https://pandia.ru/text/79/267/images/image027_6.gif" width="41" height="41 src=">.)

Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора https://pandia.ru/text/79/267/images/image029_5.gif" width="16" height="19">при ускоренном вращении тела и противоположно направлено при замедленном вращении.

Векторы, направление которых связывают с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными в отличие от обычных векторов (,, DIV_ADBLOCK106">

Основы динамики поступательного и вращательного движения тела.

Для описания взаимодействия одного тела на другое вводят понятие силы font-size:10.0pt">font-size:10.0pt">где - сила, font-size:10.0pt">, Ньютон, - масса тела, , килограмм, - ускорение тела,.

Масса тела является одной из важнейших понятий динамики, характеризующая инертные и гравитационные свойства тела. Масса тела – величина аддитивная (то есть масса тела равна сумме масс всех его частей).

Опыт показывает, что при описании вращательного движения твёрдого тела, кроме величины и направления действующей на тело силы, важной характеристикой является ещё и точка приложения этой силы.

В связи с этим вводят в рассмотрение понятие момента силы .

Моментом силы https://pandia.ru/text/79/267/images/image030_5.gif" width="13" height="17">, проведённого из точки О в точку приложения силы, на саму эту силу:

Или , где, Ньютон. метр.

Вектор момента силы DIV_ADBLOCK107">

если винт вращать от первого сомножителя в векторном произведении ко второму по кратчайшему повороту, то поступательное движение винта укажет направление искомого вектора (см. рис. 4)

Следует помнить, что перед применением этого правила необходимо совместить начала перемножаемых векторов.

Можно использовать более простое правило буравчика :

если рукоятку буравчика вращать по направлению действия силы, то поступательное движение буравчика будет совпадать с направлением вектора момента силы https://pandia.ru/text/79/267/images/image045_1.jpg" align="left" width="141" height="201 src=">На рис. 4 и 5 вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа на нас.

При этом следует помнить, что начало вектора font-size:10.0pt">.gif" width="17" height="20 src=">, а его величину можно определить по формуле:

https://pandia.ru/text/79/267/images/image047_5.gif" width="57" height="19 src=">,

Где - угол между векторамии , а величина называется плечом силы , , метр.

Плечом силы https://pandia.ru/text/79/267/images/image031_5.gif" width="17" height="20"> (см. рис. 5).

Величина зависит от выбора точки О.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента силы относительно любой точки О, выбранной на этой оси:

Величина font-size:10.0pt">не зависит от выбора точки О на этой оси Z .

Наблюдения показывают, что при рассмотрении вращательного движения тела, основной характеристикой инертных свойств тела является не масса этого тела https://pandia.ru/text/79/267/images/image053_4.gif" width="13" height="16">.

Различают момент инерции тела относительно точки и момент инерции тела относительно оси.

Моментом инерции тела относительно точки О называется величина равная font-size:10.0pt">где - кратчайшее расстояние от точки О до элементарной массы тела font-size:10.0pt">Моментом инерции тела относительно оси Z называется величина равная ,

где - кратчайшее расстояние от оси Z до элементарной массы тела font-size:10.0pt">Основной особенностью момента инерции тела является то обстоятельство, что его величина зависит от выбора оси вращения тела и распределение массы тела относительно рассматриваемой оси..gif" width="13" height="16 src=">, в зависимости от выбора оси вращения. В общем случае момент инерции тела относительно произвольной оси можно рассчитать по формуле:

где https://pandia.ru/text/79/267/images/image060_4.gif" width="15" height="17 src=">- это функция зависимости плотности тела от координат, а сам интеграл определяется по всему объёму данного тела.

Основным уравнением динамики вращательного движения тела является закон аналогичный второму закону

Ньютона, одной из возможных формулировок которого является следующая:

В инерциальной системе отчёта алгебраическая сумма моментов всех внешних сил EN-US">Z , равна произведению момента инерции этого тела относительно этой оси , на сообщённое ему угловое ускорение e :

Выполнение работы

Уравнения для поступательного и вращательного движения маятника без учёта сил сопротивления воздуха в нашем случае имеют вид:

font-size:10.0pt">где m - полная масса маятника, кг, I - момент инерции маятника, кг. м2, g - ускорение свободного падения, м/с2,

r - радиус оси маятника, м, Т - сила натяжения нити (одной), Н, - ускорение поступательного движения центра масс маятника, м/с2, e - угловое ускорение маятника, рад/с2.

Так как уравнение вращательного движения маховичка относительно оси вращения: font-size:10.0pt">где - результирующий момент действующих на маятник сил относительно оси вращения, то с учетом уравнения (1), момент действующих сил можно определить по формуле:

font-size:10.0pt">Упражнение 1. Определение углового ускорения маятника и его дисперсии

1. Установите при помощи подвижного кронштейна высоту падения маятника h , заданную преподавателем. При помощи воротка с фиксатором 7 отрегулируйте длину нитей маятника Максвелла. Следите за тем, чтобы ось маятника была расположена горизонтально.

2. На диск маятника наложите стальное кольцо и запишите его массу mк . Убедитесь, что край стального кольца находится примерно на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Если нет, отрегулируйте высоту нижнего кронштейна с фотоэлектрическим датчиком. Замерьте радиус оси маятника .

3. Включите кнопку «СЕТЬ».

4. Нажмите кнопку «СБРОС» чтобы убедиться, что на табло установились нули.

5. Аккуратно вращая диск маятника, намотайте на его ось нить и зафиксируйте его в верхнем положении при помощи электромагнитов. При этом следите за тем, чтобы нити наматывались на ось виток к витку.

6. Нажмите кнопку «ПУСК» на передней панели миллисекундомера, удерживая её в течение одной секунды.

При этом маятник начнёт двигаться вниз, а таймер производить отсчет времени. В момент пересечения маятником оптиче ской оси фотодатчика отсчет времени должен прекратиться.

7. Прочитайте измеренное значение времени падения маятника и занести его в таблицу 1.

8. Нажмите кнопку «СБРОС» и приведите маятник в исходное положение (то есть зафиксируйте его в верхнем положении

при помощи электромагнита).

9. Аналогично проведите ещё четыре замера времени падения маятника с заданной высоты. Результаты занесите в таблицу 1.

h = mк = = Таблица 1

N опыта
, с

10. Угловое ускорение маятникаfont-size:10.0pt">.gif" width="12" height="13 src=">- радиус оси маятника.

11. Вычислите среднее значение углового ускорения, его дисперсию и среднеквадратичное отклонение по формулам: ; , где - число опытов.

12..gif" width="20 height=25" height="25">= 2.8 для = 0,95 и = 4.

Упражнение 2. Проверка уравнения вращательного движения и определение момента

инерции маятника

Цель упражнения 2 состоит в проверке основного уравнение вращательного движения маятника https://pandia.ru/text/79/267/images/image075_2.gif" width="13" height="15">и моментом внешних сил , действующих на него.

Момент инерции маятника относительно оси вращения определим методом наименьших квадратов для линейной зависимости MsoPageNumber">Для этого момент внешних сил и угловое ускорение маятника рассчитайте по формулам :

, ,

где – полная масса маятника и .

Искомый момент инерции маятника определим методом наименьших квадратов

Выполнение упражнения

1. Оденьте на ось маятника подвижные втулки и, изменяя с помощью них радиус оси , проведите 5 замеров

времени падения маятника . Результаты занесите в таблицу 2.

Таблица 2

№

2. Для проверки линейной зависимости определите момент инерции маятника MsoPageNumber"> и его дисперсию

По формулам:

; , где = 5 – число измерений.

3. Постройте график зависимости MsoPageNumber">, используя свои экспериментальные данные, а так же прямую , где - вычисленный момент инерции маятника и убедитесь, что экспериментальные точки лежат вблизи прямой.

4. Вычислите критерий Фишера по следующей формуле: , где дисперсию адекватности и дисперсию опыта рассчитайте по формулам:

и , где MsoPageNumber">, где MsoPageNumber">5. Проверьте равенство . Если это равенство выполняется, то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что предположение о линейной зависимости между угловым ускорением маятника и моментом внешних сил , действующим на него, является справедливым .

6. Сделайте вывод о справедливости основного уравнения вращательного движения твёрдого тела MsoPageNumber">7. Запишите окончательный ответ момента инерции маятника в виде: MsoPageNumber">

Упражнение 3. Изучение зависимости момента инерции маятника от его массы и определение

моментов инерции колец и диска держателя

Для определения искомых величин проведём совместные измерения. Возможность определения моментов инерции

колец и диска держателя основана на свойстве аддитивности момента инерции механической системы

(т. е. момент инерции системы равен сумме моментов инерции его частей).

Для нашего случая можно записать: ,

или, введя обозначения и получим: ,

где - это масса i – го кольца, а параметры и определяются, используя метод наименьших квадратов

для линейной зависимости по формулам:

; . (4)

В этих формулах https://pandia.ru/text/79/267/images/image123_1.gif" width="15" height="21">- это момент инерции всего маятника (т. е. кольца и диска держателя с осью вместе), который вычисляется по формуле:MsoPageNumber"> где – полная масса маятника (диска держателя, оси маятника и MsoPageNumber">

1. Снимите с оси маятника подвижные втулки и, одевая на диск держатель кольца разной массы , проведите пять замеров времени падения маятника с одной и той же высоты . Результаты занесите в таблицу 3.

1. Цель работы: определение момента инерции маятника Максвелла. Определение силы натяжения нитей при движении и в момент "рывка" (нижняя точка траектории).

2. Теоретические основы работы.

Маятник Максвелла представляет собой однородный диск, насаженный на цилиндрический вал (рис. 1); центры масс диска и вала лежат на оси вращения. На вал радиусом r намотаны нити, концы которых закреплены на кронштейне. При разматывании нитей маятник Максвелла совершает плоское движение. Плоским называют такое движение, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Плоское движение маятника можно представить как сумму двух движений - поступательного движения центра масс вдоль оси OY , со скоростью V и вращательного движения с угловой скоростью w относительно оси O ’ Z , проходящей через центр масс маятника.

При движении маятника Максвелла происходит процесс перехода потенциаль­ной энергии в кинетическую и обратно. Разумеется, механическая энергия посте­пенно убывает в результате действия сил трения. Согласно теореме о движении центра масс, центр масс движется как материальная точка, масса которой равна массе системы, а действующая на нее сила - геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему:

å M iZ = ma c

Здесь индекс С означает центр масс системы.

Основное уравнение динамики вращательного движения для маятника максвелла относительно мгновенной оси O " Z , проходящей через центр масс имеет вид

å M iZ = J Z E Z

Здесь J Z - момент инерции маятника относительно оси O " Z .

Е Z - проекция углового ускорения на ось O"Z ; левая часть урав­нения - алгебраическая сумма моментов внешних сил относительно оси O"Z .

Если нить не проскальзывает, то скорость центра масс маятника и угловая скорость w связаны кинематическим соотношением

V c = w r

а) Определение момента инерции маятника Максвелла.

Используя закон сохранения механической энергии можно экспери­ментально определить момент инерции маятника. Для этого измеряется время t опускания маятника массой m с высоты h .

Примем потенциальную энергию маятника Максвелла W п.н. = 0 в поло­жении, когда маятник находится в нижней точке. Кинетическая энер­гия в этом положении

W к . н . = mV 2 /2 + J w 2 /2 (1)

Здесь V - скорость центра масс маятника; w - угловая скорость;

J - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс: m = m в + m д + m л - масса маятника; m в , m д, m л - массы вала, диска и кольца, входящих в состав маятника. В верхнем положении маятника его потенциальная энергия

W п . в . = mgh ,

а кинетическая энергия равна нулю. Из закона сохранения механи­ческой энергии для маятника Максвелла (диссипативными силами, т.е. силами трения, сопротивления воздуха и т.п. пренебрегаем) следует

mgh = mV 2 /2 + J w 2 /2 (2)

Так как центр масс маятника движется прямолинейно и равноус­коренно, то

h = a t 2 /2; V = a t (3)

Из (3) получим V = 2 h / g (4)

Подставляя соотношение (4) в (2) и используя соотношение между скоростью центра масс и угловой скоростью вращения маятника относительно оси симметрии, получим формулу для расчета эксперимен­тального момента инерции маятника Максвелла

J э = mr 2 (g t 2 /2h – 1) (5)

Здесь r – радиус вала

Полученный результат сравниваем со значением момента инерции, определяемым из теоретических соображений. Теоретический момент инерции маятника Максвелла можно рассчитать по Формуле

J T = J B + J Д + J K (6)

Здесь J B , J Д, J K - моменты инерции составных частей маятника: вала, диска и кольца соответственно. Используя общую формулу для определения момента инерции

J = ∫ r 2 dm (7)

найдем моменты инерции элементов маятника Максвелла.

J Д = m Д R 1 2 /2 (9)

Момент инерции вала J B = m в r 2 /2 (8)

Момент инерции диска

Здесь R 1 - радиус диска, он же внутренний диаметр кольца (рис. 1). Момент инерции кольца

J K = m K *(R 1 2 + R 2 2)/2 (10)

Здесь R 2 - внешний диаметр кольца

б) Определение силы натяжения нитей при движении маятника Максвелла Т Д и в момент "рывка" – Т Р.

Движение маятника Максвелла описывается системой уравнений

-ma = 2T – mg (11); J E = 2Tr (12); h = a t 2 /2 (13)

Из (11) и (12) следует, что при движении маятника Максвелла сила натяжения нити равна

T Д = mg/2(mr 2 /J + 1) (14)

где момент инерции маятника J определяется соотношением (5).